Matek

Leírás és feladatok

H

TÖRTEK

1. Mi az a tört?

A tört olyan szám, amellyel egy egésznek egy részét, vagy akár több egésznek egy részét tudjuk kifejezni.

A hétköznapokban is nagyon sokszor találkozunk törtekkel. Például ha egy pizzát 8 egyenlő részre vágunk, és abból 3 szeletet megeszünk, akkor a pizza 3/8 részét ettük meg.

Egy tört két fő részből áll: a számlálóból és a nevezőből.

Például:

3/8

Ebben a 3 a számláló, a 8 pedig a nevező.

A nevező azt mutatja meg, hogy az egészet hány egyenlő részre osztottuk.

A számláló azt mutatja meg, hogy ezekből a részekből hányat veszünk figyelembe.

Például a 5/6 tört azt jelenti, hogy egy egészet 6 egyenlő részre osztottunk, és abból 5 részt veszünk.

Fontos megjegyezni, hogy a nevező nem lehet 0. A 4/0 tört nem értelmezhető.

2. A törtek szemléltetése

A törteket könnyebb megérteni, ha elképzelünk egy egész tárgyat.

Tegyük fel, hogy van egy csokoládétábla, amelyet 10 egyenlő részre osztottunk.

Ha 1 darabot veszünk el, akkor:

1/10

Ha 3 darabot veszünk el:

3/10

Ha 7 darabot veszünk el:

7/10

Ha mind a 10 darabot elvesszük:

10/10 = 1

Ez jól mutatja, hogy egy tört akár egy egész számot is jelenthet.

3. A számláló és a nevező

Nézzük meg ezt a törtet:

7/12

A 7 a számláló.

A 12 a nevező.

A nevező mindig alul található, a számláló pedig felül.

A 7/12 jelentése: egy egészet 12 egyenlő részre osztottunk, és abból 7 részt veszünk.

Néhány további példa:

1/2 = az egész fele

1/3 = az egész harmada

1/4 = az egész negyede

3/4 = négy rész közül három

5/6 = hat rész közül öt

9/10 = tíz rész közül kilenc

4. Valódi és áltörtek

Valódi törtnek nevezzük azokat a törteket, amelyeknek a számlálója kisebb a nevezőnél.

Például:

2/5

3/7

4/9

7/10

Ezeknek az értéke kisebb 1-nél.

Áltört az a tört, amelynek a számlálója nagyobb vagy egyenlő a nevezőnél.

Például:

7/4

9/5

12/7

8/8

Az 8/8 értéke pontosan 1, mert nyolc nyolcad egy egész.

5. Egész szám felírása törtként

Minden egész szám felírható törtként úgy, hogy a nevező 1.

Például:

3 = 3/1

7 = 7/1

12 = 12/1

Ez azért hasznos, mert így egész számokkal is könnyebben tudunk törtes műveleteket végezni.

6. Törtek egyszerűsítése

A tört egyszerűsítése azt jelenti, hogy a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal osztjuk el.

Például:

6/8

A 6 és a 8 is osztható 2-vel.

6 : 2 = 3

8 : 2 = 4

Ezért:

6/8 = 3/4

A tört értéke nem változott, csak egyszerűbb formában írtuk fel.

Másik példa:

12/18

Mindkettőt oszthatjuk 6-tal:

12 : 6 = 2

18 : 6 = 3

Ezért:

12/18 = 2/3

A lehető legegyszerűbb alakot akkor kaptuk meg, amikor a számlálónak és a nevezőnek már nincs 1-nél nagyobb közös osztója.

7. Törtek bővítése

A bővítés az egyszerűsítés fordított művelete.

Bővítéskor a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal megszorozzuk.

Például:

2/3

Bővítsük 4-gyel.

2 x 4 = 8

3 x 4 = 12

Ezért:

2/3 = 8/12

Az érték nem változik meg.

További példa:

3/5 = 6/10 = 9/15 = 12/20

Mindegyik tört ugyanazt az értéket jelenti.

8. Törtek összehasonlítása

Két tört összehasonlításakor azt kell megállapítanunk, hogy melyik nagyobb, melyik kisebb, vagy hogy egyenlők-e.

Ha a nevezők azonosak, akkor a nagyobb számlálójú tört a nagyobb.

Például:

3/8 < 5/8

Mert 3 kisebb 5-nél.

Ha a számlálók azonosak, akkor a kisebb nevezőjű tört a nagyobb.

Például:

3/4 > 3/7

Ennek oka, hogy ugyanannyi részt veszünk, de a 4 részre osztott egész egy része nagyobb, mint a 7 részre osztott egész egy része.

9. Különböző nevezőjű törtek összehasonlítása

Ha a nevezők különbözőek, gyakran közös nevezőre hozzuk a törteket.

Például:

1/2 és 2/3

A 2 és a 3 közös nevezője lehet 6.

1/2 = 3/6

2/3 = 4/6

Most már könnyű összehasonlítani:

3/6 < 4/6

Ezért:

1/2 < 2/3

10. Törtek összeadása azonos nevező esetén

Ha két tört nevezője azonos, akkor a számlálókat összeadjuk, a nevezőt pedig változatlanul hagyjuk.

Példa:

2/7 + 3/7

A számlálókat összeadjuk:

2 + 3 = 5

A nevező marad 7.

Ezért:

2/7 + 3/7 = 5/7

Másik példa:

3/10 + 4/10 = 7/10

Fontos: a nevezőket nem adjuk össze!

Helytelen lenne:

3/10 + 4/10 = 7/20

A helyes eredmény:

7/10

11. Törtek összeadása különböző nevező esetén

Ha a nevezők különbözőek, először közös nevezőt kell keresnünk.

Példa:

1/3 + 1/4

A 3 és a 4 legkisebb közös többszöröse 12.

Ezért a törteket 12-es nevezőre alakítjuk.

1/3 = 4/12

1/4 = 3/12

Ezután:

4/12 + 3/12 = 7/12

Tehát:

1/3 + 1/4 = 7/12

12. Törtek kivonása

A kivonás hasonló az összeadáshoz.

Azonos nevező esetén a számlálókat kivonjuk egymásból.

Példa:

7/9 - 2/9 = 5/9

Másik példa:

8/11 - 3/11 = 5/11

A nevező változatlan marad.

13. Különböző nevezőjű törtek kivonása

Példa:

3/4 - 1/6

A 4 és a 6 közös nevezője 12.

3/4 = 9/12

1/6 = 2/12

Ezután:

9/12 - 2/12 = 7/12

Tehát:

3/4 - 1/6 = 7/12

14. Törtek szorzása

Törtek szorzásakor a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel.

Példa:

2/3 x 4/5

Számlálók:

2 x 4 = 8

Nevezők:

3 x 5 = 15

Ezért:

2/3 x 4/5 = 8/15

A szorzásnál nincs szükség közös nevezőre.

Ez nagyon fontos különbség az összeadáshoz és kivonáshoz képest.

15. Szorzás egyszerűsítéssel

Szorzás előtt érdemes lehet egyszerűsíteni.

Példa:

3/8 x 4/9

A 3 és a 9 osztható 3-mal.

A 4 és a 8 osztható 4-gyel.

Így:

1/2 x 1/3

Ez pedig:

1/6

Tehát:

3/8 x 4/9 = 1/6

16. Tört szorzása egész számmal

Ha egy törtet egész számmal szorzunk, az egész számot felírhatjuk 1 nevezőjű törtként.

Példa:

4 x 3/5

A 4 ugyanaz, mint 4/1.

Ezért:

4/1 x 3/5 = 12/5

A 12/5 vegyes számként:

2 2/5

17. Törtek osztása

A törtek osztásánál egy nagyon fontos szabályt kell megjegyezni:

Az osztás helyett szorzást végzünk, és az osztó törtet megfordítjuk.

Példa:

2/3 : 4/5

A második törtet megfordítjuk:

4/5 -> 5/4

Ezután szorzunk:

2/3 x 5/4 = 10/12

Egyszerűsítve:

10/12 = 5/6

Tehát:

2/3 : 4/5 = 5/6

18. Miért kell megfordítani a törtet?

A tört osztásánál az osztó reciprokával, vagyis megfordított törtjével szorzunk.

Például:

3/4 : 2/5

A 2/5 megfordítva:

5/2

Ezután:

3/4 x 5/2 = 15/8

Vegyes számként:

1 7/8

Ezért:

3/4 : 2/5 = 1 7/8

19. Vegyes számok

A vegyes szám egy egész számból és egy valódi törtből áll.

Például:

2 1/3

Ez azt jelenti, hogy 2 egész és még 1/3.

A vegyes számot át tudjuk alakítani áltörtté.

Példa:

2 1/3

Először az egész részt megszorozzuk a nevezővel:

2 x 3 = 6

Ehhez hozzáadjuk a számlálót:

6 + 1 = 7

A nevező változatlan marad:

2 1/3 = 7/3

20. Áltört átalakítása vegyes számmá

Példa:

11/4

A 11-et elosztjuk 4-gyel.

11 : 4 = 2 maradék 3.

Ezért:

11/4 = 2 3/4

Másik példa:

17/5

17 : 5 = 3 maradék 2.

Ezért:

17/5 = 3 2/5

21. Vegyes számok összeadása

Példa:

2 1/3 + 1 1/6

Először a törtrészeket adjuk össze.

1/3 = 2/6

Ezért:

2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2

Az egész részek:

2 + 1 = 3

Tehát:

2 1/3 + 1 1/6 = 3 1/2

22. Vegyes számok kivonása

Példa:

4 3/4 - 2 1/4

Az egész részek:

4 - 2 = 2

A törtrészek:

3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2

Ezért:

4 3/4 - 2 1/4 = 2 1/2

23. Vegyes számok szorzása

Vegyes számok szorzásakor célszerű először áltörtet készíteni.

Példa:

2 1/2 x 1 1/3

2 1/2 = 5/2

1 1/3 = 4/3

Ezután:

5/2 x 4/3 = 20/6

Egyszerűsítve:

20/6 = 10/3

Vegyes számként:

3 1/3

Tehát:

2 1/2 x 1 1/3 = 3 1/3

24. Törtek osztása egész számmal

Példa:

3/4 : 2

A 2 felírható 2/1 alakban.

Ezért:

3/4 : 2/1

Megfordítjuk az osztót:

3/4 x 1/2

Ez:

3/8

Tehát:

3/4 : 2 = 3/8

25. Egész szám osztása törttel

Példa:

3 : 2/5

A 3 felírható 3/1 alakban.

A 2/5 megfordítva 5/2.

Ezért:

3/1 x 5/2 = 15/2

Vegyes számként:

7 1/2

Tehát:

3 : 2/5 = 7 1/2

26. Törtek és tizedes számok

A törteket tizedes számként is felírhatjuk.

Ehhez a számlálót el kell osztani a nevezővel.

Példa:

1/2

1 : 2 = 0,5

Ezért:

1/2 = 0,5

További példák:

1/4 = 0,25

3/4 = 0,75

1/5 = 0,2

2/5 = 0,4

4/5 = 0,8

1/10 = 0,1

27. Törtek és százalékok

A tört százalékká is alakítható.

Például:

1/2 = 50%

1/4 = 25%

3/4 = 75%

1/5 = 20%

2/5 = 40%

4/5 = 80%

A százalék azt mutatja meg, hogy valami 100 egyenlő részből hány részt jelent.

Például:

25% = 25/100 = 1/4

50% = 50/100 = 1/2

75% = 75/100 = 3/4

28. Műveleti sorrend törtekkel

Ha egy feladatban több művelet szerepel, akkor a műveleti sorrendet be kell tartani.

A sorrend:

  1. zárójelben lévő műveletek

  2. szorzás és osztás

  3. összeadás és kivonás

Példa:

1/2 + 1/3 x 3/4

Először a szorzást végezzük el:

1/3 x 3/4 = 3/12 = 1/4

Ezután:

1/2 + 1/4

1/2 = 2/4

Ezért:

2/4 + 1/4 = 3/4

A végeredmény:

3/4

29. Zárójeles törtes műveletek

A zárójelet mindig először kell kiszámolni.

Példa:

(1/2 + 1/3) x 3/5

Először:

1/2 + 1/3

Közös nevező:

6

1/2 = 3/6

1/3 = 2/6

Ezért:

3/6 + 2/6 = 5/6

Most:

5/6 x 3/5

Egyszerűsítés után:

1/2

Tehát:

(1/2 + 1/3) x 3/5 = 1/2

30. Törtek a mindennapi életben

A törtek nemcsak matematikaórán fontosak.

Találkozhatunk velük:

  • főzésnél

  • sütésnél

  • időmérésnél

  • hosszúságmérésnél

  • pénzügyi számításoknál

  • térképeknél

  • sportban

  • matematikai feladatokban

  • százalékos eredményeknél

Például egy receptben szerepelhet 1/2 liter tej vagy 3/4 kilogramm liszt.

Egy óra 1/4 része 15 perc.

Egy óra 1/2 része 30 perc.

Egy óra 3/4 része 45 perc.

31. Szöveges feladat – példa

Egy pizzát 8 egyenlő szeletre vágtak.

Péter 3 szeletet evett meg, Anna pedig 2 szeletet.

Mekkora részét ették meg a pizzának?

Péter:

3/8

Anna:

2/8

Összesen:

3/8 + 2/8 = 5/8

Tehát a pizza 5/8 részét ették meg.

Mennyi maradt?

8/8 - 5/8 = 3/8

Tehát a pizza 3/8 része maradt meg.

32. Szöveges feladat – második példa

Egy könyv 120 oldalból áll.

Egy tanuló a könyv 1/4 részét már elolvasta.

Hány oldalt olvasott el?

120 : 4 = 30

Tehát 30 oldalt olvasott el.

Hány oldal van még hátra?

120 - 30 = 90

Tehát 90 oldal van hátra.

33. Gyakori hibák

A törteknél több olyan hiba is előfordul, amelyet érdemes elkerülni.

Első gyakori hiba: a nevezők összeadása.

Helytelen:

1/5 + 2/5 = 3/10

Helyesen:

1/5 + 2/5 = 3/5

Második gyakori hiba: különböző nevezők összeadásakor nem hozzuk közös nevezőre a törteket.

Például:

1/2 + 1/3

Nem lehet egyszerűen 2/5.

Helyesen:

1/2 = 3/6

1/3 = 2/6

Ezért:

1/2 + 1/3 = 5/6

Harmadik gyakori hiba: tört osztásakor nem fordítjuk meg az osztót.

Például:

1/2 : 3/4

Helyesen:

1/2 x 4/3

34. Gyakorlófeladatok – egyszerűsítés

  1. 4/8 =

  2. 6/10 =

  3. 9/12 =

  4. 12/16 =

  5. 15/20 =

  6. 18/24 =

  7. 21/28 =

  8. 25/35 =

  9. 30/45 =

  10. 36/48 =

35. Gyakorlófeladatok – bővítés

Bővítsd a törteket a megadott számmal!

  1. 1/2 bővítése 3-mal

  2. 2/3 bővítése 4-gyel

  3. 3/5 bővítése 2-vel

  4. 4/7 bővítése 3-mal

  5. 5/8 bővítése 2-vel

36. Gyakorlófeladatok – összeadás

  1. 2/7 + 3/7 =

  2. 1/5 + 2/5 =

  3. 3/8 + 2/8 =

  4. 1/2 + 1/4 =

  5. 1/3 + 1/6 =

  6. 2/5 + 1/10 =

  7. 3/4 + 1/8 =

  8. 2/3 + 1/9 =

  9. 5/6 + 1/12 =

  10. 3/10 + 2/5 =

37. Gyakorlófeladatok – kivonás

  1. 6/7 - 2/7 =

  2. 8/9 - 3/9 =

  3. 7/10 - 2/10 =

  4. 3/4 - 1/4 =

  5. 5/6 - 1/3 =

  6. 7/8 - 1/4 =

  7. 9/10 - 1/5 =

  8. 11/12 - 1/3 =

  9. 5/6 - 1/4 =

  10. 7/8 - 1/6 =

38. Gyakorlófeladatok – szorzás

  1. 1/2 x 2/3 =

  2. 2/3 x 3/4 =

  3. 3/5 x 5/6 =

  4. 4/7 x 7/8 =

  5. 5/8 x 2/5 =

  6. 3/4 x 8/9 =

  7. 2/5 x 15/4 =

  8. 7/10 x 5/7 =

  9. 4/9 x 3/8 =

  10. 5/6 x 12/25 =

39. Gyakorlófeladatok – osztás

  1. 1/2 : 1/4 =

  2. 2/3 : 1/3 =

  3. 3/4 : 1/2 =

  4. 4/5 : 2/5 =

  5. 5/6 : 1/3 =

  6. 2/3 : 4/9 =

  7. 3/4 : 3/8 =

  8. 5/8 : 5/16 =

  9. 7/10 : 7/20 =

  10. 3/5 : 9/10 =

40. Vegyes gyakorlófeladatok

  1. 1/2 + 1/3 =

  2. 5/6 - 1/4 =

  3. 2/3 x 3/5 =

  4. 3/4 : 2/3 =

  5. 1/2 + 1/4 - 1/8 =

  6. 2/3 x 3/4 + 1/6 =

  7. (1/2 + 1/3) x 3/5 =

  8. 3/4 : (1/2 + 1/4) =

  9. 2 1/3 + 1 1/6 =

  10. 4 1/2 - 2 3/4 =

41. Nehezebb feladatok

(2/3 + 1/6) x 3/5

3/4 - (1/2 x 2/3)

(5/6 - 1/3) : 1/2

2/5 + 3/10 x 4/3

(3/4 + 1/8) : 7/8

2 1/2 x 1 3/5

4 1/3 : 1 1/3

5/6 + 3/4 - 1/2

42. Összefoglaló

A törtek számolásánál a legfontosabb szabályokat érdemes megtanulni.

Összeadásnál és kivonásnál különböző nevezők esetén először közös nevezőt kell keresni.

Azonos nevező esetén a számlálókkal végzünk műveletet, a nevező változatlan marad.

Szorzásnál a számlálókat egymással, a nevezőket egymással szorozzuk.

Osztásnál az osztó törtet megfordítjuk, majd szorzunk.

Egyszerűsítésnél a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal osztjuk.

Bővítésnél a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal szorozzuk.

Vegyes számokkal végzett szorzásnál és osztásnál általában célszerű először áltört alakra alakítani őket.

A legfontosabb pedig az, hogy mindig figyeljünk a műveleti sorrendre, és az eredményt lehetőség szerint egyszerűsítsük.

A törtek elsőre nehéznek tűnhetnek, de ha a szabályokat lépésenként alkalmazzuk, a számolás egyre könnyebbé válik.

Ez a honlap még 7 napig reklámmentes.
Weblap látogatottság számláló:

Mai: 5
Tegnapi: 13
Heti: 18
Havi: 27
Össz.: 27
Oldal: Törtek
Matek - © 2008 - 2026 - profimatek.hupont.hu

ÁSZF | Adatvédelmi Nyilatkozat