H
A tört olyan szám, amellyel egy egésznek egy részét, vagy akár több egésznek egy részét tudjuk kifejezni.
A hétköznapokban is nagyon sokszor találkozunk törtekkel. Például ha egy pizzát 8 egyenlő részre vágunk, és abból 3 szeletet megeszünk, akkor a pizza 3/8 részét ettük meg.
Egy tört két fő részből áll: a számlálóból és a nevezőből.
Például:
3/8
Ebben a 3 a számláló, a 8 pedig a nevező.
A nevező azt mutatja meg, hogy az egészet hány egyenlő részre osztottuk.
A számláló azt mutatja meg, hogy ezekből a részekből hányat veszünk figyelembe.
Például a 5/6 tört azt jelenti, hogy egy egészet 6 egyenlő részre osztottunk, és abból 5 részt veszünk.
Fontos megjegyezni, hogy a nevező nem lehet 0. A 4/0 tört nem értelmezhető.
A törteket könnyebb megérteni, ha elképzelünk egy egész tárgyat.
Tegyük fel, hogy van egy csokoládétábla, amelyet 10 egyenlő részre osztottunk.
Ha 1 darabot veszünk el, akkor:
1/10
Ha 3 darabot veszünk el:
3/10
Ha 7 darabot veszünk el:
7/10
Ha mind a 10 darabot elvesszük:
10/10 = 1
Ez jól mutatja, hogy egy tört akár egy egész számot is jelenthet.
Nézzük meg ezt a törtet:
7/12
A 7 a számláló.
A 12 a nevező.
A nevező mindig alul található, a számláló pedig felül.
A 7/12 jelentése: egy egészet 12 egyenlő részre osztottunk, és abból 7 részt veszünk.
Néhány további példa:
1/2 = az egész fele
1/3 = az egész harmada
1/4 = az egész negyede
3/4 = négy rész közül három
5/6 = hat rész közül öt
9/10 = tíz rész közül kilenc
Valódi törtnek nevezzük azokat a törteket, amelyeknek a számlálója kisebb a nevezőnél.
Például:
2/5
3/7
4/9
7/10
Ezeknek az értéke kisebb 1-nél.
Áltört az a tört, amelynek a számlálója nagyobb vagy egyenlő a nevezőnél.
Például:
7/4
9/5
12/7
8/8
Az 8/8 értéke pontosan 1, mert nyolc nyolcad egy egész.
Minden egész szám felírható törtként úgy, hogy a nevező 1.
Például:
3 = 3/1
7 = 7/1
12 = 12/1
Ez azért hasznos, mert így egész számokkal is könnyebben tudunk törtes műveleteket végezni.
A tört egyszerűsítése azt jelenti, hogy a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal osztjuk el.
Például:
6/8
A 6 és a 8 is osztható 2-vel.
6 : 2 = 3
8 : 2 = 4
Ezért:
6/8 = 3/4
A tört értéke nem változott, csak egyszerűbb formában írtuk fel.
Másik példa:
12/18
Mindkettőt oszthatjuk 6-tal:
12 : 6 = 2
18 : 6 = 3
Ezért:
12/18 = 2/3
A lehető legegyszerűbb alakot akkor kaptuk meg, amikor a számlálónak és a nevezőnek már nincs 1-nél nagyobb közös osztója.
A bővítés az egyszerűsítés fordított művelete.
Bővítéskor a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal megszorozzuk.
Például:
2/3
Bővítsük 4-gyel.
2 x 4 = 8
3 x 4 = 12
Ezért:
2/3 = 8/12
Az érték nem változik meg.
További példa:
3/5 = 6/10 = 9/15 = 12/20
Mindegyik tört ugyanazt az értéket jelenti.
Két tört összehasonlításakor azt kell megállapítanunk, hogy melyik nagyobb, melyik kisebb, vagy hogy egyenlők-e.
Ha a nevezők azonosak, akkor a nagyobb számlálójú tört a nagyobb.
Például:
3/8 < 5/8
Mert 3 kisebb 5-nél.
Ha a számlálók azonosak, akkor a kisebb nevezőjű tört a nagyobb.
Például:
3/4 > 3/7
Ennek oka, hogy ugyanannyi részt veszünk, de a 4 részre osztott egész egy része nagyobb, mint a 7 részre osztott egész egy része.
Ha a nevezők különbözőek, gyakran közös nevezőre hozzuk a törteket.
Például:
1/2 és 2/3
A 2 és a 3 közös nevezője lehet 6.
1/2 = 3/6
2/3 = 4/6
Most már könnyű összehasonlítani:
3/6 < 4/6
Ezért:
1/2 < 2/3
Ha két tört nevezője azonos, akkor a számlálókat összeadjuk, a nevezőt pedig változatlanul hagyjuk.
Példa:
2/7 + 3/7
A számlálókat összeadjuk:
2 + 3 = 5
A nevező marad 7.
Ezért:
2/7 + 3/7 = 5/7
Másik példa:
3/10 + 4/10 = 7/10
Fontos: a nevezőket nem adjuk össze!
Helytelen lenne:
3/10 + 4/10 = 7/20
A helyes eredmény:
7/10
Ha a nevezők különbözőek, először közös nevezőt kell keresnünk.
Példa:
1/3 + 1/4
A 3 és a 4 legkisebb közös többszöröse 12.
Ezért a törteket 12-es nevezőre alakítjuk.
1/3 = 4/12
1/4 = 3/12
Ezután:
4/12 + 3/12 = 7/12
Tehát:
1/3 + 1/4 = 7/12
A kivonás hasonló az összeadáshoz.
Azonos nevező esetén a számlálókat kivonjuk egymásból.
Példa:
7/9 - 2/9 = 5/9
Másik példa:
8/11 - 3/11 = 5/11
A nevező változatlan marad.
Példa:
3/4 - 1/6
A 4 és a 6 közös nevezője 12.
3/4 = 9/12
1/6 = 2/12
Ezután:
9/12 - 2/12 = 7/12
Tehát:
3/4 - 1/6 = 7/12
Törtek szorzásakor a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel.
Példa:
2/3 x 4/5
Számlálók:
2 x 4 = 8
Nevezők:
3 x 5 = 15
Ezért:
2/3 x 4/5 = 8/15
A szorzásnál nincs szükség közös nevezőre.
Ez nagyon fontos különbség az összeadáshoz és kivonáshoz képest.
Szorzás előtt érdemes lehet egyszerűsíteni.
Példa:
3/8 x 4/9
A 3 és a 9 osztható 3-mal.
A 4 és a 8 osztható 4-gyel.
Így:
1/2 x 1/3
Ez pedig:
1/6
Tehát:
3/8 x 4/9 = 1/6
Ha egy törtet egész számmal szorzunk, az egész számot felírhatjuk 1 nevezőjű törtként.
Példa:
4 x 3/5
A 4 ugyanaz, mint 4/1.
Ezért:
4/1 x 3/5 = 12/5
A 12/5 vegyes számként:
2 2/5
A törtek osztásánál egy nagyon fontos szabályt kell megjegyezni:
Az osztás helyett szorzást végzünk, és az osztó törtet megfordítjuk.
Példa:
2/3 : 4/5
A második törtet megfordítjuk:
4/5 -> 5/4
Ezután szorzunk:
2/3 x 5/4 = 10/12
Egyszerűsítve:
10/12 = 5/6
Tehát:
2/3 : 4/5 = 5/6
A tört osztásánál az osztó reciprokával, vagyis megfordított törtjével szorzunk.
Például:
3/4 : 2/5
A 2/5 megfordítva:
5/2
Ezután:
3/4 x 5/2 = 15/8
Vegyes számként:
1 7/8
Ezért:
3/4 : 2/5 = 1 7/8
A vegyes szám egy egész számból és egy valódi törtből áll.
Például:
2 1/3
Ez azt jelenti, hogy 2 egész és még 1/3.
A vegyes számot át tudjuk alakítani áltörtté.
Példa:
2 1/3
Először az egész részt megszorozzuk a nevezővel:
2 x 3 = 6
Ehhez hozzáadjuk a számlálót:
6 + 1 = 7
A nevező változatlan marad:
2 1/3 = 7/3
Példa:
11/4
A 11-et elosztjuk 4-gyel.
11 : 4 = 2 maradék 3.
Ezért:
11/4 = 2 3/4
Másik példa:
17/5
17 : 5 = 3 maradék 2.
Ezért:
17/5 = 3 2/5
Példa:
2 1/3 + 1 1/6
Először a törtrészeket adjuk össze.
1/3 = 2/6
Ezért:
2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2
Az egész részek:
2 + 1 = 3
Tehát:
2 1/3 + 1 1/6 = 3 1/2
Példa:
4 3/4 - 2 1/4
Az egész részek:
4 - 2 = 2
A törtrészek:
3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2
Ezért:
4 3/4 - 2 1/4 = 2 1/2
Vegyes számok szorzásakor célszerű először áltörtet készíteni.
Példa:
2 1/2 x 1 1/3
2 1/2 = 5/2
1 1/3 = 4/3
Ezután:
5/2 x 4/3 = 20/6
Egyszerűsítve:
20/6 = 10/3
Vegyes számként:
3 1/3
Tehát:
2 1/2 x 1 1/3 = 3 1/3
Példa:
3/4 : 2
A 2 felírható 2/1 alakban.
Ezért:
3/4 : 2/1
Megfordítjuk az osztót:
3/4 x 1/2
Ez:
3/8
Tehát:
3/4 : 2 = 3/8
Példa:
3 : 2/5
A 3 felírható 3/1 alakban.
A 2/5 megfordítva 5/2.
Ezért:
3/1 x 5/2 = 15/2
Vegyes számként:
7 1/2
Tehát:
3 : 2/5 = 7 1/2
A törteket tizedes számként is felírhatjuk.
Ehhez a számlálót el kell osztani a nevezővel.
Példa:
1/2
1 : 2 = 0,5
Ezért:
1/2 = 0,5
További példák:
1/4 = 0,25
3/4 = 0,75
1/5 = 0,2
2/5 = 0,4
4/5 = 0,8
1/10 = 0,1
A tört százalékká is alakítható.
Például:
1/2 = 50%
1/4 = 25%
3/4 = 75%
1/5 = 20%
2/5 = 40%
4/5 = 80%
A százalék azt mutatja meg, hogy valami 100 egyenlő részből hány részt jelent.
Például:
25% = 25/100 = 1/4
50% = 50/100 = 1/2
75% = 75/100 = 3/4
Ha egy feladatban több művelet szerepel, akkor a műveleti sorrendet be kell tartani.
A sorrend:
zárójelben lévő műveletek
szorzás és osztás
összeadás és kivonás
Példa:
1/2 + 1/3 x 3/4
Először a szorzást végezzük el:
1/3 x 3/4 = 3/12 = 1/4
Ezután:
1/2 + 1/4
1/2 = 2/4
Ezért:
2/4 + 1/4 = 3/4
A végeredmény:
3/4
A zárójelet mindig először kell kiszámolni.
Példa:
(1/2 + 1/3) x 3/5
Először:
1/2 + 1/3
Közös nevező:
6
1/2 = 3/6
1/3 = 2/6
Ezért:
3/6 + 2/6 = 5/6
Most:
5/6 x 3/5
Egyszerűsítés után:
1/2
Tehát:
(1/2 + 1/3) x 3/5 = 1/2
A törtek nemcsak matematikaórán fontosak.
Találkozhatunk velük:
főzésnél
sütésnél
időmérésnél
hosszúságmérésnél
pénzügyi számításoknál
térképeknél
sportban
matematikai feladatokban
százalékos eredményeknél
Például egy receptben szerepelhet 1/2 liter tej vagy 3/4 kilogramm liszt.
Egy óra 1/4 része 15 perc.
Egy óra 1/2 része 30 perc.
Egy óra 3/4 része 45 perc.
Egy pizzát 8 egyenlő szeletre vágtak.
Péter 3 szeletet evett meg, Anna pedig 2 szeletet.
Mekkora részét ették meg a pizzának?
Péter:
3/8
Anna:
2/8
Összesen:
3/8 + 2/8 = 5/8
Tehát a pizza 5/8 részét ették meg.
Mennyi maradt?
8/8 - 5/8 = 3/8
Tehát a pizza 3/8 része maradt meg.
Egy könyv 120 oldalból áll.
Egy tanuló a könyv 1/4 részét már elolvasta.
Hány oldalt olvasott el?
120 : 4 = 30
Tehát 30 oldalt olvasott el.
Hány oldal van még hátra?
120 - 30 = 90
Tehát 90 oldal van hátra.
A törteknél több olyan hiba is előfordul, amelyet érdemes elkerülni.
Első gyakori hiba: a nevezők összeadása.
Helytelen:
1/5 + 2/5 = 3/10
Helyesen:
1/5 + 2/5 = 3/5
Második gyakori hiba: különböző nevezők összeadásakor nem hozzuk közös nevezőre a törteket.
Például:
1/2 + 1/3
Nem lehet egyszerűen 2/5.
Helyesen:
1/2 = 3/6
1/3 = 2/6
Ezért:
1/2 + 1/3 = 5/6
Harmadik gyakori hiba: tört osztásakor nem fordítjuk meg az osztót.
Például:
1/2 : 3/4
Helyesen:
1/2 x 4/3
4/8 =
6/10 =
9/12 =
12/16 =
15/20 =
18/24 =
21/28 =
25/35 =
30/45 =
36/48 =
Bővítsd a törteket a megadott számmal!
1/2 bővítése 3-mal
2/3 bővítése 4-gyel
3/5 bővítése 2-vel
4/7 bővítése 3-mal
5/8 bővítése 2-vel
2/7 + 3/7 =
1/5 + 2/5 =
3/8 + 2/8 =
1/2 + 1/4 =
1/3 + 1/6 =
2/5 + 1/10 =
3/4 + 1/8 =
2/3 + 1/9 =
5/6 + 1/12 =
3/10 + 2/5 =
6/7 - 2/7 =
8/9 - 3/9 =
7/10 - 2/10 =
3/4 - 1/4 =
5/6 - 1/3 =
7/8 - 1/4 =
9/10 - 1/5 =
11/12 - 1/3 =
5/6 - 1/4 =
7/8 - 1/6 =
1/2 x 2/3 =
2/3 x 3/4 =
3/5 x 5/6 =
4/7 x 7/8 =
5/8 x 2/5 =
3/4 x 8/9 =
2/5 x 15/4 =
7/10 x 5/7 =
4/9 x 3/8 =
5/6 x 12/25 =
1/2 : 1/4 =
2/3 : 1/3 =
3/4 : 1/2 =
4/5 : 2/5 =
5/6 : 1/3 =
2/3 : 4/9 =
3/4 : 3/8 =
5/8 : 5/16 =
7/10 : 7/20 =
3/5 : 9/10 =
1/2 + 1/3 =
5/6 - 1/4 =
2/3 x 3/5 =
3/4 : 2/3 =
1/2 + 1/4 - 1/8 =
2/3 x 3/4 + 1/6 =
(1/2 + 1/3) x 3/5 =
3/4 : (1/2 + 1/4) =
2 1/3 + 1 1/6 =
4 1/2 - 2 3/4 =
(2/3 + 1/6) x 3/5
3/4 - (1/2 x 2/3)
(5/6 - 1/3) : 1/2
2/5 + 3/10 x 4/3
(3/4 + 1/8) : 7/8
2 1/2 x 1 3/5
4 1/3 : 1 1/3
5/6 + 3/4 - 1/2
A törtek számolásánál a legfontosabb szabályokat érdemes megtanulni.
Összeadásnál és kivonásnál különböző nevezők esetén először közös nevezőt kell keresni.
Azonos nevező esetén a számlálókkal végzünk műveletet, a nevező változatlan marad.
Szorzásnál a számlálókat egymással, a nevezőket egymással szorozzuk.
Osztásnál az osztó törtet megfordítjuk, majd szorzunk.
Egyszerűsítésnél a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal osztjuk.
Bővítésnél a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal szorozzuk.
Vegyes számokkal végzett szorzásnál és osztásnál általában célszerű először áltört alakra alakítani őket.
A legfontosabb pedig az, hogy mindig figyeljünk a műveleti sorrendre, és az eredményt lehetőség szerint egyszerűsítsük.
A törtek elsőre nehéznek tűnhetnek, de ha a szabályokat lépésenként alkalmazzuk, a számolás egyre könnyebbé válik.